省流：-23摄氏度下330ml金属罐的低浓度水溶液15℃→-4℃需要80分钟。

由于饮料温度下降，这显然是一个非定态传热问题，假定物质的热物理特性参数为常数，我们可以有以下方程：

在我们的情形下，流量显然为零；式中为饮料密度，为饮料比热容，为（罐子+饮料）整体的内部热阻的倒数，t为温度，为时间。

(资料图片仅供参考)

如果我们认为冷库制冷能力足够强，或者冷库足够大，那即是说冷库为恒温，经由牛顿传热定律：，我们即可找到这个偏微分方程的第三类边界条件。为什么不是第一类边界条件呢？因为罐子表面作为热源和冷源的交界，它的温度其实是不断变化的，并不会一直是-18℃。

设热扩散率，以表征物体传递温度变化的能力；

列出微分方程和其边界条件：

;

;

;

。

R是罐子的半径，在这里我们把罐子看作无限长，最后进行截取。

在引入过余温度后，我们发现解可以写成如下形式：

其中是满足如下超越方程的正数

,

其中无量纲数Bi为毕渥数，,

表征了物体内部导热热阻与边界对流换热热阻之比。

鉴于太过复杂，因此我们尝试用集总体的视角进行化简。

因此，我们需要计算一下毕渥数：

对于表面传热系数h，我们可以根据自由运动流体对横管的换热系数公式进行估算：

W/(m²· K),其中n为高度方向的横管数,n=1时为0；d为管直径；Δt为空气温度与管壁温度之差。

可以算出h在4.83~7.66左右。

测量罐子半径（以魔爪为例）为0.027m，水的传热系数约为0.55~0.59 W/(m· K)

可得出>0.1,为特征尺度，对于圆柱即是R。可以看出，无论如何我们都不可能将罐子看作一个集总体。（此节之后δ均为罐长的一半）

在一开始我们就认定了不随温度改变，并且实际查表也发现其变动尺度很小，因此我们就假定其为0.59W/(m· K)，饮料密度=1000kg/m³，水的比热容为4.2*1000 J/(kg·K)。可以算出

虽然我设定冰箱为-18℃，但实测为-23℃；而饮料作为一种溶液，我们姑且认为它在-4℃下仍为液体。

短圆柱的过余温度分布由下式求得：

,由于罐体的各方向尺寸不同，我们需要分别计算直径方向的毕渥数和高度方向的毕渥数。

由上一节的第一次估算，我们发现毕渥数的变化很大，因此我们用下图中方法计算平均毕渥数。

以r方向为例(中间变量不加下标)：,

算数平均数：

对于我们也如法炮制，

同理，在x方向我们直接给出结果： 

至此，我们已然可以画出在某时刻罐中的温度分布了。比如τ=5500s(大概92min)时，我们有（展开三项，误差为-0.2919%）：

图例中的小数是什么意思呢？比如，以此类推。

我实测80分钟就可以有少量絮状冰了，可见罐内的水还是存在自然对流的。

对于中心点、外部中间圈、外部角落圈，我们可以画出温度（℃）对时间（min）的变化曲线（分别展开6项，误差为-0.3651%）。

对于展开级数增加而（0，0）处误差却增大，其实是后面的项有正有负，比如r展开5项而x展开6项，误差就只有0.173%，此事平平无奇。

对于想要自己估算的朋友，我们可以给出时间对于目标温度的函数，只需将文中参数自行测量就能代入，快来逝逝吧！

只计算饮料中心点，并只展开一项则有

为所需时间[s]；

为饮料瓶高度的一半[m]；

R为饮料瓶半径[m]；

为目标温度[℃]；为饮料初始温度[℃]；为冰柜温度[℃]；

、为径向和竖直方向的 ；

是对应毕渥数下满足方程的正数序列；

毕渥数Bi为 ,（由于在很多资料中,特征尺寸就是无限大平面的厚度的一半因此文中符号有混用现象,但不多）

h为空气对饮料瓶的表面传热系数[W/(m²· K)];

λ为水的导热系数[W/(m· K)];

为热扩散率;

ρ为水的密度[kg/m³];

为水的比热容[J/(kg·K)]。